【數學】圓的分一半公式 @小編過路君子

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【數學】圓的分一半公式

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設圓C：x2 + y2 + dx + ey + f = 0或(x - h)2 + (y - k)2 P點座標

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2019-10-25 09:58:55 最後編修

2018-11-14 10:19:28 By 過路君子

設圓C：x²+ y²+ dx + ey + f = 0或(x - h)² + (y - k)² = r²

P點座標(x₀, y₀)

怎麼分一半：

x²= x · x —其中一個x用x₀代入→ x₀· x

y²= y · y —其中一個y用y₀代入→ y₀· y

x = (x+x)÷2 —其中一個x用x₀帶入→ (x+x₀)÷2

y = (y+y)÷2 —其中一個y用y₀帶入→ (y+y₀)÷2

因為沒有未知數，所以常數項不變

將P點代入圓C可得下列兩條分一半公式：

x · x₀+ y · y₀+ d(x · x₀)÷2 + e(y · y₀)÷2 + f = 0

或

(x - h)(x₀ - h)+ (y - k)(y₀ - k) = r²

使用分一半公式所得出來的結果是一條二元一次方程式，其幾何意義依P點位置區分如下表：

證明pf>

⑴ P在圓上

∵過P點的切線會⊥線段OP

∴切線斜率 = -(1 ÷ m_op) = -[(x₀ - h)÷(y₀ - k)]

⑵P在圓外

設P點向一圓所做的兩條切線之切點為A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) 兩點

∴A(x₁ ,y₁)、B(x₂, y₂)均滿足方程式(x - h)(x₀ - h)+ (y - k)(y₀ - k) = r²

且兩點可決定一直線，故直線AB的方程式為(x₀ - h)(x - h) + (y₀ - k)(y - k) = r²

⑶P在圓內

　　如圖 ∵P為弦AB的中點

　 ∴線段AB⊥線段OP

END

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