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【數學】圓的分一半公式

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設圓C：​​​​​​x2 + y2 + dx + ey + f = 0或(x - h)2 + (y - k)2 P點座標
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2019-10-25 09:58:55 最後編修
2018-11-14 10:19:28 By 過路君子
 

設圓C：x2 + y2 + dx + ey + f = 0或(x - h)2 + (y - k)2 = r2

P點座標(x0, y0)

怎麼分一半：

x2 = x · x —其中一個x用x0代入→ x0 · x

y2 = y · y —其中一個y用y0代入→ y0 · y

x = (x+x)÷2 —其中一個x用x0帶入→ (x+x0)÷2

y = (y+y)÷2 —其中一個y用y0帶入→ (y+y0)÷2

因為沒有未知數，所以常數項不變

 

將P點代入圓C可得下列兩條分一半公式：

x · x0 + y · y0 + d(x · x0)÷2 + e(y · y0)÷2 + f = 0

或

(x - h)(x0 - h)+ (y - k)(y0 - k) = r2

 

使用分一半公式所得出來的結果是一條二元一次方程式，其幾何意義依P點位置區分如下表：

 

證明pf>

⑴ P在圓上

    ∵過P點的切線會⊥線段OP

    ∴切線斜率 = -(1 ÷ mop) = -[(x0 - h)÷(y0 - k)]

⑵P在圓外

    設P點向一圓所做的兩條切線之切點為A(x1 , y1)、B(x2 , y2) 兩點

    ∴A(x1 ,y1)、B(x2 , y2)均滿足方程式(x - h)(x0 - h)+ (y - k)(y0 - k) = r2

且兩點可決定一直線，故直線AB的方程式為(x0 - h)(x - h) + (y0 - k)(y - k) = r2

 

⑶P在圓內

 　　如圖 ∵P為弦AB的中點

 

            　 ∴線段AB⊥線段OP

END

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